Novo vídeo no canal definição do logaritmo, espero ter ajudado vocês galerinha do mal.

https://www.youtube.com/watch?v=T3Judoy2KoY

Uma melhor ajudinha sobre alguns gráficos de logaritmos

E ai galerinha do mal?
Esse poste bem animado feito por Karine, é para lembra-los que segue ai uma vídeo aula pratica e rápida sobre Gráficos de Logaritmos:

https://www.youtube.com/watch?v=lCZM84ZFD7I

Exercícios Resolvidos:
1) Calcule: Log₅ 625 + Log 100 - Log₃ 27?
Vamos calcular cada um dos logaritmos separadamente.
O Log₅ 625 é o expoente da potência de base 5 que resulta em 625:

Podemos resolver a equação exponencial decompondo 625 em fatores primos:

Ou seja, 625 = 5⁴, o que nos leva ao valor de x:

Pudemos calcular o valor de x desta forma, pois a a base 5 é positiva e diferente de 1. Se você não se lembra disto, convém consultar o tema equação exponencial para recordar esta matéria.
Então 4 é o Log₅ 625:

O Log 100 é o expoente da potência de base 10 que resulta em 100:

O valor de x agora é óbvio.
Como sabemos, uma potência de dez com expoente natural resulta em um número começando pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quanto indicado por este expoente.
Sabendo-se disto, se o número 100 possui 2 zeros após o 1, é porque o expoente da potência de base dez é igual a dois (10² = 100), isto é, x = 2.
Então 2 é o Log 100:

Por último, o Log₃ 27 é igual a 3, pois este é o expoente ao qual devemos elevar a base também 3 para obtermos 27:

Se você tem dúvidas quanto a isto, também pode decompor o número 27 em fatores primos como fizemos com o Log₅ 625.
Realizando as substituições na expressão original temos:










2) Considerando-se Log₇ 10 = 1,1833. Qual é o Log₇ 70?
Para a solução deste problema vamos recorrer à propriedade do logaritmo de um produto.
Utilizaremos esta propriedade, pois através dela podemos montar uma outra expressão com dois logaritmos conhecidos. Um é o Log₇ 10, obtido do enunciado e o outro é o Log₇ 7 que como sabemos é igual a 1.
É sabido que 70 é o produto de 7 por 10. Então temos que:

Através da propriedade do logaritmo de um produto podemos assim expressar o Log₇ 70:

O Log₇ 7 = 1 pois:

Conforme o enunciado, o Log₇ 10 = 1,1833, então substituindo tais valores na expressão, temos:

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS

Os logaritmos possuem inúmeras aplicações no cotidiano, a Física e a Química utilizam as funções logarítmicas nos fenômenos em que os números adquirem valores muito grandes, tornando-os menores, facilitando os cálculos e a construção de gráficos. O manuseio dos logaritmos requer algumas propriedades que são fundamentais para o seu desenvolvimento. Veja:

Propriedade do produto do logaritmo

Se encontrarmos um logaritmo do tipo: loga (x * y) devemos resolvê-lo, somando o logaritmo de x na base a e o logaritmo de y na base a.

loga (x * y) = loga x + loga y

Exemplo:

log2 (32 * 16) = log232 + log216 = 5 + 4 = 9

Propriedades do quociente do logaritmo 

Caso o logaritmo seja do tipo logax/y, devemos resolvê-lo subtraindo o logaritmo do numerador na base a pelo logaritmo do denominador também na base a.

logax/y = logax – logay

Exemplo:

log5 (625/125) = log5625 – log5125 = 4 – 3 = 1

Propriedade da potência do logaritmo

Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima passagem esse expoente irá multiplicar o resultado desse logaritmo, veja como:

logaxm = m*logax

Exemplo:

log3812 = 2*log381 = 2 * 4 = 8

Propriedade da raiz de um logaritmo 

Essa propriedade é baseada em outra, que é estudada na propriedade da radiciação, ela diz o seguinte:

n√xm = x m/n

Essa propriedade é aplicada no logaritmo quando:

loga n√xm = loga x m

                              n

→ m • logax

     n

Exemplo:

log2 3√162 = log2162/3 = 2 • log216 = 2 • 4 = 8

                                           3                  3          3

Propriedade da mudança de base

Existem situações nas quais precisaremos utilizar a tábua de logaritmos ou uma calculadora científica na determinação do logaritmo de um número. Mas para isso devemos trabalhar o problema no intuito de estabelecer o logaritmo na base 10, pois as tábuas e as calculadoras operam nessas condições, para isso utilizamos a propriedade da mudança de base, que consiste na seguinte definição:

logba = logca

             logcb

Exemplo

log58 = log 8 = 0,90309 = 1,292

             log 5    0,69898

Propriedades dos Logaritmos

log_ab = x, onde: 

a = base do logaritmo 
b = logaritmando 
x = logaritmo 
O logaritmo de um número b em uma base a é o expoente x que se deve aplicar à base a para se ter o número b. Dessa forma: 



log_ab = x ↔ a^x = b 

Exemplos: 

log₃9 ↔ 3² = 9 
log₁₀100 ↔ 10² = 100 
log₂16 ↔ 2⁴ = 16 
log₉81 ↔ 9² = 81 

A partir dessa definição podemos apresentar algumas definições que auxiliarão no desenvolvimento de algumas situações envolvendo logaritmo. Veja: 

O logaritmo do número 1 em qualquer base sempre será igual a 0. 

log_a1 = 0, pois a⁰ = 1 

O logaritmo de qualquer número a na própria base a será igual a 1. 

log_aa = 1, pois a¹ = a 

O logaritmo de uma potência da base é o expoente, em qualquer base. 

log_aa^m = m, pois m * log_aa = m * 1 = m 

A potência de base a e expoente logab é igual a b. 

a^log_ab = b, pois log_ab = x → a^x = b 

Dois logaritmos são iguais, quando seus logaritmandos forem iguais. 

log_ab = log_ac ↔ b = c 





Exemplos 

Aplicar a definição de logaritmo para calcular o valor de x em cada caso: 

a) log₃27 = x → 3^x = 27 → x = 3 

b) log₈₁x = 3/4 → x = 81^3/4 → x = (3⁴)^3/4 → x = 3^12/4 → x = 3³ → x = 27 

c) log₄√2 = x → 4^x = √2 → 2^2x = √2 → 2^2x = 2^1/2 → 2x = 1/2 → x = 1/4 

d) log_x8 = 2 → x² = 8 → √x = √8 → x = 2√2 

e) log₄(2x – 1) = 1/2 → 2x – 1 = 4^1/2 → 2x – 1 = √4 → 2x – 1 = 2 → 2x = 3 → x = 3/2 

f) log₁₈18 = x → 18^x = 18 → x = 1 

g) log_x1024 = 2 → x² = 1024 → √x² = √1024 → x = 32 

h) log₄0,25 = x → 4^x = 0,25 → 4^x = 25/100 → 4^x = 1/4 → 4^x = 4^–1 → x = –1 

i) 16^log₂5 = (2⁴)^log₂5 = (2^log₂5)⁴ = 5⁴ = 625 

j) log0,01 = x → 10^x = 0,01 → 10^x = 1/100 → 10^x = 10^–2 → x = –2 

Exercícios Resolvidos

PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS